Exercices

Algèbre Linéaire

Exercice 1

On considère les matrices suivantes :

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\) \(B = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\) \(C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) \(D = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}\) \(E = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 3 \\ -1 & -4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)

Quels sont les produits matriciels possibles ? Quelles sont les matrices carrées et les matrices symétriques ?

Cliquez pour afficher le corrigé

Les produits matriciels possibles sont : \(AC\), \(AE\), \(BD\), \(CD\), \(DC\). La matrice carrée est \(E\), \(C\) et \(D\) sont des matrices symétriques.

Exercice 2

1. Soit \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\). Montrer que \(A^2 = 2I_3 - A\), en déduire que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).

Pour montrer que \(A^2 = 2I_3 - A\), calculez \(A^2\) et démontrez que cette égalité est valide.

Puisque \(A^2 = 2I_3 - A\), cela implique que \(A\) est inversible. Pour calculer \(A^{-1}\), utilisez cette relation et les propriétés des matrices inverses.

2. Soit \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}\). Calculer \(A^3 - A\). En déduire que \(A\) est inversible puis déterminer \(A^{-1}\).

Calculez \(A^3 - A\) pour démontrer que \(A\) est inversible. En utilisant cette information, trouvez la matrice inverse \(A^{-1}\).

Cliquez pour afficher le corrigé

Le calcul ne pose pas de problèmes. Il mène à: \(\frac{{A^2 + A^2}}{2} = I_3 \implies A \cdot \left( \frac{{A + I_3}}{2} \right) = \left( \frac{{A + I_3}}{2} \right) \cdot A = I_3\)
A est inversible, et son inverse est : \(A^{-1} = \frac{{A + I_3}}{2}\) Un calcul donne : \(A^3 - A = 4 \cdot I_3\).
Donc \(A \cdot \frac{{A^2 - I_3}}{4} = I_3\), ainsi \(A\) est inversible et \(A^{-1} = \frac{1}{4} \cdot (A^2 - I_3) = \frac{1}{4} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\)

Fondements de probabilités

Exercice 1

Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme ?

Cliquez pour afficher le corrigé

Notons les différents événements : \(Fe\) : « être femme », \(Lu\) : « porter des lunettes », \(H\) : « être homme ».

Alors, on a \(P(Fe) = 0.6\), \(P(Lu|Fe) = \frac{1}{3}\) ; il s’agit de la probabilité conditionnelle de « porter des lunettes » sachant que la personne est une femme.

De même, on a \(P(Lu|H) = 0.5\).

On cherche la probabilité conditionnelle \(P(Fe|Lu)\).

D’après la formule des probabilités totales, on a : \(P(Fe|Lu) \cdot P(Lu) = P(Lu|Fe) \cdot P(Fe)\) avec \(P(Lu) = P(Lu|Fe) \cdot P(Fe) + P(Lu|H) \cdot P(H)\).

Application numérique : \(P(Lu) = 0.4\), donc \(P(Fe|Lu) = \frac{P(Lu|Fe) \cdot P(Fe) \cdot P(Lu)}{P(Lu)} = 0.5\).

Exercice 2

Dans une entreprise deux ateliers fabriquent les mêmes pièces. L’atelier 1 fabrique en une journée deux fois plus de pièces que l’atelier 2. Le pourcentage de pièces défectueuses est 3% pour l’atelier 1 et 4% pour l’atelier 2. On prélève une pièce au hasard dans l’ensemble de la production d’une journée.
Déterminer :
- la probabilité que cette pièce provienne de l’atelier 1 ; - la probabilité que cette pièce provienne de l’atelier 1 et est défectueuse ; - la probabilité que cette pièce provienne de l’atelier 1 sachant qu’elle est défectueuse.

Cliquez pour afficher le corrigé

Notons \(A\) l’événement “la pièce provient de l’atelier 1”, \(B\) l’événement “la pièce provient de l’atelier 2” et \(D\) l’événement “la pièce est défectueuse”.

L’énoncé nous dit que les \(\frac{2}{3}\) des pièces produites proviennent de l’atelier 1. Donc \(P(A)=\frac{2}{3}\).

On cherche \(P(A \cap D) = P_A(D) \cdot P(A) = 0.03 \times 2/3 = 0.02\). De même, on démontre que \(P(B \cap D) = 0.175\) et donc que \(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0.15\).

Ainsi, on a \(P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = 0.133\)

Exercice 3

Soit \(F\) la fonction définie par :

\[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,29 & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ 0,37 & \text{si } 1 \leq x \leq 7 \\ 0,69 & \text{si } 7 \leq x \leq 11 \\ 1 & \text{si } x \geq 11 \end{cases} \] 1) Vérifiez que \(F(x)\) est une fonction de répartition en vérifiant les conditions requises pour une fonction de répartition.

2. Soit \(X\) la variable aléatoire admettant \(F\) pour fonction de répartition ; quelle est la loi de \(X\) ?

Cliquez pour afficher le corrigé

1. \(F\) est croissante, de limite nulle en \(-\infty\), de limite égale à \(1\) en \(+\infty\) et continue à droite ; il s’agit donc bien d’une fonction de répartition.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x \in X(\Omega) & P(X = x) \\ \hline -1 & 0.29 \\ 1 & 0.08 \\ 7 & 0.32 \\ 11 & 0.31 \\ \hline \end{array} \]

Exercice 4

Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre \(\lambda > 0\). Calculer \(E[(1 + X)^{-1}]\).

Cliquez pour afficher le corrigé

\(E((1+X)^{-1}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{1+k} \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = e^{-\lambda} \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} - 1\right) = e^{-\lambda} (e^{\lambda} - 1) = \frac{1 - e^{-\lambda}}{\lambda}\)

Exercice 5

Montrer que \(\text{Var}(X) = E(X^2) - 2(E(X))^2\).

Cliquez pour afficher le corrigé

$ (X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2 - 2 E(X)X + (E(X))^2) = E(X^2) - 2 E(X)E(X) + (E(X))^2 = E(X^2) - 2(E(X))^2 $

Exercice 6

Le nombre \(X\) de kg de tomates récoltés dans un jardin en une semaine est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante :

1. Quelle est l’espérance mathématique de \(X\) et quelle est sa variance ?

2. Pendant les six semaines de la saison de récolte, la distribution de probabilité ne varie pas. Calculer l’espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire \(Y\) donnant la récolte totale en kg durant les six semaines.

Cliquez pour afficher le corrigé

1. \(E(X) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.1 = 1.4\); \(E(X^2) = 0^2 \times 0.1 + 1^2 \times 0.5 + 2^2 \times 0.3 + 3^2 \times 0.1 = 2.6\) donc \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0.64\)

2. \(Y\) étant la somme de 6 variables aléatoires i.i.d., on a : \(E(Y) = 6E(X) = 8.4\) et \(Var(Y) = 6\) et \(Var(X) = 3.84\)